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中国古代数学  

2011-02-13 23:40:16|  分类: 古代文化 |  标签: |举报 |字号 订阅

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中国古代数学

     一提起中国古代的科学发明,人们往往马上就会想到四大发明——造纸术、印刷术、指南针和火药。这四大发明无疑是极其伟大的,它们对世界文明的发展曾经起过巨大的影响。造纸术的发明为人类提供了质地优良、方便而又经济的书写材料,极大地促进了人类文化的保存、传播、延续和发展。印刷术、指南针和火药的西传,则成为促进欧洲近代文艺复兴和科学革命的有力杠杆。

    英国著名科学家、哲学家弗·培根(Francis Bacon,1561—1626)认为,“这三种发明已经在世界范围内把事物的全部面貌和情况都改变了:第一种(指印刷术)是在学术方面,第二种(指火药)是在战事方面,第三种(指指南针)是在航行方面;并由此又引起难以数计的变化来,竟至任何帝国、任何教派、任何星辰对人类事务的力量和影响都仿佛无过于这些机械性的发现了。”

    但是我们也应该看到,四大发明毕竟是中国科技文化史上很小的一部分,仅仅知道四大发明,对于了解中国文化史还是远远不够的。首先,我们看看别树一帜的中国数学。

    在世界古代数学中,古希腊欧几里得几何学的辉煌成就可说是家喻户晓,为人们所熟知了。但是,对于中国古代数学的成就,人们却知之甚少,或知之不详。其实,中国古代数学的成就同样是极其辉煌的,并对人类文明的发展做出了特殊的贡献。

一.十进制

    首先,现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制,就是中国的一大发明。至迟在商代时,中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中,可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字,记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状,在后世虽有所变化而成为现在的写法,但记数方法却从没有中断,一直被沿袭,并日趋完善。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法,对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如李约瑟所说的:“如果没有这种十进位制,就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

    古巴比仑的记数法虽有位值制的意义,但它采用的是六十进位的,计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号,从一百到一千万有四个数字符号,而且这些符号都是象形的,如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达,因而轻视计算,记数方法落后,是用全部希腊字母来表示一到一万的数字,字母不够就用加符号“‘”等的方法来补充。古罗马采用的是累积法,如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示,又有用累积法,到公元七世纪时方采用十进位值制,很可能受到中国的影响。现通用的印度——阿拉伯数码和记数法,大约在十世纪时才传到欧洲。

    在计算数学方面,中国大约在商周时期已经有了四则运算,到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中,出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”,堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶,这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的。从此,“九九歌”成为数学的普及和发展最基本的基础之一,一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始,到“二二如四”止,而现在是由“一一如一”到“九九八十一”。

二.计算工具和方法

    与此同时,中国发明了特有的计算工具和方法,即用“算筹”进行计算。

    关于算筹形状和大小,最早见于《汉书·律历志》。根据记载,算筹是直径一分(合○·二三厘米)、长六寸(合一三·八六厘米)的圆形竹棍,以二百七十一根为一“握”。南北朝时期公元六世纪《数术记遗》和《隋书·律历志》记载的算筹,长度缩短,并且把圆的改成方的或扁的。这种改变是容易理解的:长度缩短是为了缩小布算所占的面积,以适应更加复杂的计算;圆的改成方的或扁的是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错误。根据文献的记载,算筹除竹筹外,还有木筹、铁筹、玉筹和牙筹,还有盛装算筹的算袋和算子筒。唐代曾经规定,文武官员必须携带算袋。1971年八月中旬,在陕西宝鸡市千阳县第一次发现西汉宣帝时期(公元前73年到前49年)的骨制算筹三十多根,大小长短和《汉书·律历志》的记载基本相同。1975年上半年在湖北江陵凤凰山一六八号汉墓又发现西汉文帝时期(公元前179年到前157年)的竹制算筹一束,长度比千阳县发现的算筹稍大一点。1980年九月,在石家庄市又发现东汉初期(公元一世纪)的骨制算筹约三十根,长度和形状同《隋书·律历志》的记载相近,这说明算筹长度和形状的改变早在东汉初期已经开始。

    用算筹表示数目,有两种形式,即纵式和横式:

    在表示数字时,用纵式代表个、百、万位的数,用横式代表十、千位的数,遇零则用空位表示,如此就可以用算筹摆出任何自然数。负数出现后,算筹分成红黑两种,红筹表示正数,黑筹表示负数。用算筹进行计算,叫做“筹算”。即通过算筹的摆列,进行加减乘除以至开平方、开立方等的运算,整数以后的奇零部分,则用分数表示。它的运算程序和现今珠算的运算程序基本相似。记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙子算经》(公元四世纪)、《夏侯阳算经》(公元五世纪)和《数术记遗》(公元六世纪)。后来的“筹画”、“筹策”、“筹算”、“筹议”等常用词,都是由此演生和引伸出来的。

    算筹还可以表示各种代数式,进行各种代数运算,方法和现今的分离系数法相似。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就,和筹算有密切的关系。例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位,需要计算正一万二千二百八十八边形的边长,把一个九位数进行二十二次开平方(加、减、乘、除步骤除外),如果没有良好的计算方法,那就会困难得多了。

    而在明代广泛使用的珠算盘,更是几百年来最先进的一种计算工具,至今仍有一定的生命力。

    筹算在我国古代用了大约两千年,在生产和科学技术以至人民生活中,发挥了重大的作用。但是它的缺点也是十分明显的:首先,在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便;其次,计算数字的位数越多,所需要的面积越大,受环境和条件的限制;此外,当计算速度加快的时候,很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展,计算技术要求越来越高,筹算需要改革,这是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始,经宋元出现大量的计算歌诀,到元末明初珠算的普遍应用,历时七百多年。这个改革最后导致珠算的出现。

    现存文献中最早提到珠算盘的是明初的《对相四言》。明代中期公元十五世纪中叶《鲁班木经》中有制造珠算盘的规格:“算盘式:一尺二寸长,四寸二分大。框六分厚,九分大,……线上二子,一寸一分;线下五子,三寸一分。长短大小,看子而做。”把上二子和下五子隔开的不是木制的横梁,而是一条线。比较详细地说明珠算用法的现存著作有徐心鲁的《盘珠算法》(公元1573年)、柯尚迁的《数学通轨》(公元1578年)、朱载堉(1536—1611)的《算学新说》(公元1584年)、程大位的《直指算法统宗》(公元1592年)等,以程大位的著作流传最广。

    值得指出的是,在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年(公元1279年)刘因在他的《静修先生文集》中有一首关于算盘的五言绝诗;陶宗仪在他的《辍耕录》中把婢仆贬作算盘珠,要拨才动;《元曲选》“庞居士误放来生债”提到“去那算盘里拨了我的岁数”,等等。文学、戏剧中用算盘珠作比喻,说明珠算盘已经比较流行,也说明它是比较时新的东西。因此可以认为,珠算出现在元代中叶,元末明初已经普遍应用了。

    珠算还传到朝鲜、日本等国,对这些国家的计算技术的发展曾经起过一定的作用。日本人在十七世纪中叶,在中国算盘的基础上,改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盘。

三.数学成就

    正是在上述的基础上,中国古代数学以擅长计算着称于世,并逐步形成了自具特色的数学体系。

    《九章算术》一书是这个体系形成的重要标志。《九章算术》大约成书于公元一世纪中叶,是集战国和秦汉数学成就之大全的著名古算书。该书采用应用题集形式写成,共收入实际生产和生活中的数学问题 246个,并给出答案。全书分为九章:

    第一章“方田”,主要讲的是田亩面积的计算,包括分数的各种计算方法;

    第二章“粟米”,讲各种比例问题,特别是关于各种谷物间按比例相互交换的计算方法;

    第三章“衰分”,讲按等级分配物资或摊派税收的比例问题;

    第四章“少广”,讲开平方、开立方的计算方法;

    第五章“商功”,讲各种形状的体积的计算方法;

    第六章“均输”,讲如何按人口、物价高低、路途远近等条件,以计算各地的赋税和分派工役等问题的计算方法;

    第七章“盈不足”,即用假设的方法解决如下一类的问题:“今有(人)共买(物),(每)人出八(钱)盈余三(钱),(每)人出七(钱)不足四(钱),问人数、物价各几何?”(6)这类问题,在《九章数术》中已有完整的解法;

    第八章“方程”,是关于联立一次方程组普遍解法的叙述;

    第九章“勾股”,主要是应用勾股定理和直角三角形相似的各种比例关系,测量和计算“高、深、广、远”的问题。

    《九章算术》不仅有着一套较为完整的编写体例,形成了具有自己风格的数学体系,而且其数学水平处于当时世界的先进行列,其中一些成就还远远走在世界的前面。如“盈不足术”类似于现代“行列式解法”,它在欧洲至中世纪方以“双设法”的形式出现;欧洲直到十六世纪时方得出类似一次联立方程组的普遍解法;“方程”章中已引入了负数的概念,并已产生和运用了正、负数的加减法则,而印度到七世纪以后,欧洲到十六世纪以后,才产生比较明确的负数概念。

    以《九章算术》为代表的中国数学体系,其特点是以解决社会实际问题为主要目的,以算筹为主要计算工具,以十进位值制的记数系统进行运算,其内容包括算术、代数、几何等各个方面。这个数学体系在其自身的发展历程中,逐步走向自己的高峰,呈现着久盛不衰的局势,并结下了累累的硕果。其中最为突出的成就有:

    古代世界中最精确的圆周率。三国曹魏景元四年(263年),著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了割圆术的新方法。他认为当圆内接正多边形的边数无限增加时,其周长即愈益逼近圆周长,“割之弥细,所失弥小。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”。由之可以看到,刘徽已把极限的思想应用于圆周率的计算。刘徽应用割圆术,从圆内接正六边形算起,边数逐步加倍,直算至圆内接正192边形的面积,求得圆周率π=中国古代数学 - 正觉 - 正觉博客(相当于3.1416),成为当时世界商最精确的圆周率数据。在实际应用中,他则主张采用π=中国古代数学 - 正觉 - 正觉博客(相当于3.14)。南朝的祖冲之继承了刘徽的工作,求出了精确到七位有效数字的圆周率:3.1415926<π<3.1415927。这一结果的得到,相当于应用算筹对九位数字的大数目进行各种运算(包括开方)130次以上,其劳动量之大是可以想象的。为了计算方便,祖冲之还求出了两个用分数表示圆周率的数据,一个是中国古代数学 - 正觉 - 正觉博客,称密率,这是分子、分母在一千以内表示圆周率的最佳渐近分数;另一个是中国古代数学 - 正觉 - 正觉博客,称约率。祖冲之求得的圆周率数据,远远地走在世界的前面,直至一千年后,阿拉伯数学家阿尔·卡西(al Kashi)于公元 1427年,法国数学家维叶特(Viete)于公元 1540—1603年间,才求出更精确的数据。而密率的求得,欧洲也是直至十六世纪方达到的。

    其它如隋代刘焯创立的“等间距二次内插法”;唐代一行的“不等间距二次内插法”,王孝通的三次方程解法;宋元时期的解三次以上方程的方法,高阶等差级数求和、联立一次同余式等等,也都在世界上领先数百年之久。

    如同古希腊注重几何证明而忽视计算一样,中国古代在数字计算方面相当发达,在实际生活中所遇到的几何问题,也都用算术或代数的方法进行解答,从而相对地限制了几何证明的发展。但这并不是说,中国古代就没有几何学。其中墨子在《墨经》中所提出的圆、直、点、线、面、体、平行等各种命题和概念,都可与欧几里得几何学的相关定理和命题媲美。勾股定理及其应用,制图工具规、矩的普遍使用,也都反映了中国古代在几何学方面有着相当的成就。当然,在实用计算数学的掩盖下,中国古代在几何学上没有在理性论证方面得到充分地发展;计算数学本身也在《九章算术》体例的影响下,一直采用习题问答的方式,没有加以很好地抽象、提高,使其更具理性化的程度,这不能不说是重大的缺陷。

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